Tra il primo e il terzo

Come si fa a capire se due triangoli sono congruenti? Un metodo può essere quello di controllare che tutti gli angoli e tutti i lati di un triangolo siano congruenti a ciascun altro lato e angolo dell’altro: di certo questo procedimento funziona, ma non è per niente rapido, e spesso poco fattibile (non sempre si hanno a disposizione tutte le informazioni necessarie).

Per risolvere questo problema sono stati introdotti i cosiddetti criteri di congruenza per i triangoli, con i quali è possibile capire - a partire da (relativamente) poche informazioni - se due triangoli sono congruenti. Ciascun criterio, quindi è una condizione sufficiente per stabilire se due triangoli sono congruenti.

TEOREMA (Primo criterio di congruenza): Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso, allora sono congruenti.

TEOREMA (Secondo criterio di congruenza): Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso, allora sono congruenti.

TEOREMA (Terzo criterio di congruenza): Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati, allora sono congruenti.

Come si può notare, nel primo criterio si specifica che l’angolo congruente deve essere compreso tra i due lati rispettivamente congruenti. In modo analogo nel secondo criterio si specifica che il lato congruente deve essere compreso tra i due angoli rispettivamente congruenti. Sono davvero necessarie queste richieste? In altre parole ci chiediamo:

1. se due triangoli hanno due lati e un qualsiasi angolo rispettivamente congruenti, allora sono congruenti?
2. se due triangoli hanno due angoli e un qualsiasi lato rispettivamente congruenti, allora sono congruenti?

La risposta alla prima domanda è, in generale, NO. Infatti vediamo nel prossimo disegno che i due triangoli dati hanno le caratteristiche richieste, ma non sono congruenti:

Si può dimostrare però il seguente risultato:

TEOREMA (Primo criterio di congruenza “speciale”): Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e un angolo, e

• l’angolo è compreso tra i lati, oppure
• l’angolo non è compreso tra i lati ma non è acuto,

allora essi sono congruenti.

La risposta alla seconda domanda, invece, è SI’. Infatti vale il seguente risultato:

TEOREMA (Secondo criterio generalizzato): Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e un lato, allora sono congruenti.

Conclusione

Possiamo riassumere la situazione in questo modo: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente:

• due lati e un angolo qualsiasi non acuto;
• due lati e l’angolo tra essi compreso;
• due angoli e un lato qualsiasi;
• tre lati.

Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino